牛顿莱布尼兹公式能否对积分上限函数使用-

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牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.

1基本信息

2定积分式

3Φ性质

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（不知道怎么提意见,这里的分类有误：微积分基本定理和微积分基本公式是两个不同的东西,此处好像归结为同一类了.此处表述的是微积分基本公式,即牛顿-莱布尼兹公式.微积分基本定理是一个定理,关于连续函数形成的变限积分可导的定理.忘改正）

1基本信息

若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且F(x)是f(x)的一个原函数,则

这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式.

2定积分式

如果我们把

中的积分区间的上限作为一个变量x,这样我们就定义了一个新的函数：

但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：

3Φ性质

1 、定义函数

,则

与格林公式和高斯公式的联系

证明：让函数

获得增量

,则对应的函数增量

显然,

而

（ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,

也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.）

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x）,故有

可见这也是导数的定义,所以最后得出

2、

,F(x)是f(x)的原函数.

证明：我们已证得

,故

但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F(a)=C

于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b) = F(b) - F(a),

而

,所以

把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.

莱布尼茨公式在高数第3章。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数，牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。牛顿-莱布尼茨公式的内容，是一个连续函数在区间[a ，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。莱布尼茨公式是计算高阶导数的公式，高数三中因应该会有要求的。

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